Definisi Gelanggang (Ring Theory) Dalam Matematika
Dalam posting kali ini saya akan membahas perihal salah satu bahan pelajaran matematika khususnya Struktur Aljabar yaitu Gelanggang. Gelanggang dalam bahasa Inggris disebut Ring.
Ring ialah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Tetapi perlu teman-teman ketahui bahwa gelanggang atau ring ialah sebuah teori matematika dimana sebuah grup memenuhi sifat-sifat tertentu dan mempunyai kriteria tertentu untuk disebut atau dikatakan sebagai syarat-syarat menjadi gelanggang. Kaprikornus gelanggang atau ring berisi grup dengan anggota yang terdefinisi dengan baik.
Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia "Gelanggang (ring) ialah salah satu struktur aljabar, yang mempunyai 2 (dua) operasi biner, yang biasanya disebut operasi "penjumlahan" dan "perkalian". Ini berbeda dengan grup yang hanya mempunyai satu operasi biner". Berikut ini definisi dari gelanggang atau ring.
Definisi Gelanggang (Rings)
Misal R himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (x) disebut gelanggang (ring) jikalau dan hanya jikalau :1. (R,+) grup abelian/grup komutatif
Himpunan R dengan operasi penjumlahan (R,+) dikatakan grup abelian atau grup komutatif jikalau memenuhi sifat :
Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c) untuk suatu a,b,c ∈ R.
Memiliki Unsur Identitas
Untuk setiap a ∈ R terdapat e ∈ R sedemikian sehingga a + e = e + a = a.
Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c) untuk suatu a,b,c ∈ R.
Memiliki Unsur Identitas
Untuk setiap a ∈ R terdapat e ∈ R sedemikian sehingga a + e = e + a = a.
Setiap Elemen Memiliki Invers
Untuk setiap a ∈ R terdapat (-a) ∈ R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = e.
Komutatif
a + b = b + a untuk suatu a,b ∈ R.
Untuk setiap a ∈ R terdapat (-a) ∈ R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = e.
Komutatif
a + b = b + a untuk suatu a,b ∈ R.
2. (R,x) semigrup
Himpunan R dengan operasi perkalian (R,x) merupakan semigrup jikalau memenuhi sifat :
Tertutup
Untuk setiap a,b ∈ R, a x b ∈ R.
Asosiatif
a (bc) = (ab) c untuk suatu a,b,c ∈ R.
Tertutup
Untuk setiap a,b ∈ R, a x b ∈ R.
Asosiatif
a (bc) = (ab) c untuk suatu a,b,c ∈ R.
3. (R,+,x) distributif
Himpunan R dengan operasi perkalian dan penjumlahan (R,+,x) mempunyai sifat distributif jikalau :
Distributif Kanan
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a (b + c) = ab + ac
Distributif Kiri
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) c = ac + bc
Distributif Kanan
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a (b + c) = ab + ac
Distributif Kiri
Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) c = ac + bc
Perlu sobat ingat bahwa operasi perkalian tidak saya tuliskan, jadi contohnya ab bergotong-royong ialah perkalian antara a dan b, a x b.
Kaprikornus syarat semoga suatu himpunan dikatakan gelanggang atau ring harus memenuhi sifat grup abelian terhadap penjumlahan, semigrup terhadap perkalian, serta distributif terhadap perkalian dan penjumalah. Untuk lebih jelasnya sobat sanggup melihat gambar berikut ini.
Contoh himpunan yang merupakan gelanggang :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
Definisi Gelanggang Komutatif (Abelian Rings)
Misal R gelanggang, R disebut gelanggang komutatif (abelian rings) jikalau dan hanya jikalau : untuk setiap a,b ∈ R maka berlaku ab = ba (operasi perkalian).Contoh himpunan yang merupakan gelanggan komutatif :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Gelanggang dengan Unsur Kesatuan
Gelanggang R disebut gelanggang dengan unsur kesatuan jikalau dan hanya jikalau terdapat 1R ∈ bilangan real sehingga untuk setiap a ∈ R berlaku a⋅1R = 1R⋅a = a.
Contoh himpunan yang merupakan gelanggan dengan unsur kesatuan :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
- Bilangan matriks 2x2 elemen real
Gelanggang Tanpa Pembagi Nol
Gelanggang R disebut gelanggang tanpa pembagi nol jikalau dan hanya jikalau untuk setiap a,b ∈ R dengan ab = 0R berakibat a = 0R atau b = 0R.Contoh himpunan yang merupakan gelanggan tanpa pembagi nol :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Integral Domain/Daerah Integral
Gelanggang R disebut integral domain atau tempat integral jikalau gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan tidak memuat pembagi nol.Contoh himpunan yang merupakan tempat integral :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Division Ring
Gelanggang R disebut "Division Ring" jikalau dan hanya jikalau gelanggang R merupakan gelanggang dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap operasi perkalian.Contoh himpunan yang merupakan division ring :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Field/Lapangan
Gelanggang R disebut field atau lapangan jikalau dan hanya jikalau gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap perkalian.Contoh himpunan yang merupakan division ring :
- Bilangan real
- Bilangan rasional
Karakteristik Gelanggang (Ring)
Karakteristik dari suatu gelanggang R ialah bilangan orisinil terkecil sehingga n⋅a = 0 untuk setiap a ∈ R, n ∈ bilangan asli. Jika tidak ada bilangan orisinil sehingga n⋅a = 0 untuk setiap a ∈ R maka karakteristik dari gelanggang R disebut "memiliki karakteristik nol" atau "karakteristik tak hingga".Mungkin cukup sekian dari saya, semoga sanggup bermanfaat, kalau ada yang ingin sobat tanyakan silakan sampaikan pada kotak komentar yang ada dibawah atau sanggup juga melalui halaman contact blog ini. Terima kasih, assalamu'alaikum warohmatullahi wabarokatuh.
 Dalam Matematika){kind=link}